关键词：同步、相位差、希尔伯特变换，DSP

导读

在测试测量中，对于多个周期性信号的分析，经常会用到相位差的测量计算。本期小百科介绍使用希尔伯特变换来计算相位差的算法。

希尔伯特变换(Hilbert Transform)

一个连续时间信号x(t)的希尔伯特变换等于该信号通过具有冲激响应h(t)=1/πt的线性系统以后的输出响应。

可见x(t)的希尔伯特变换就是将x(t)与1/πt进行卷积。

现在我们从频域的角度来看希尔伯特变换的过程。

1/πt的傅里叶变换：

其中sgn是符号函数：

根据傅里叶变换和卷积的性质：卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积。

x(t)的傅里叶变换与其希尔伯特变换的傅里叶变换的关系【1】为：

所以信号经希尔伯特变换后，在频域各频率分量的幅度保持不变，但相位将出现90°相移。即对其正频率的频域部分会顺时针旋转90°，其负频率的频域部分会逆时针旋转90°，因此希尔伯特变换器又称为90°移相器。

基于希尔伯特变换的相位差计算

由于希尔伯特变换后信号赋值不发生变换的特性，只需要对处理后的信号和原始信号进行和差化积运算，就可以得到相位差关于时域信号的公式，并且不需要待测信号的频率即可进行计算，更加的快速便捷。下面是运算过程：
(1) 两个待测信号


(2) 对待测信号x1(t)，x2(t)做希尔伯特变换，得


(3) 令待测信号x1(t)乘以x2(t)希尔伯特变换后的信号y2(t)，令待测信号x2(t)乘以x1(t)希尔伯特变换后的信号y1(t)

其中θ2(t)-θ1(t)为待测信号的相位差

(4) 令待测信号x1(t)乘以测信号x2(t) ，令希尔伯特变换后的信号y1(t)乘以 y2(t)


(5) 将(3)和(4)中的公式相除，进行化简，可得相位差

所以，我们只要知道待测信号的时域数据，对其做希尔伯特变换后，即可计算两待测信号的相位差。

参考

1. https://www.bilibili.com/read/cv2793412/

2. https://www.bilibili.com/read/cv2730026/

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