1. DMM电压测量的"坑"！
1.1 摘要
现在的5 ½、6 ½、7 ½都是指分辨率（Resolution）与精度没有直接关系；
用户很难获得真正的精度（Accuracy）指标；
国际知名品牌厂商对DMM的标注不清晰，甚至有些混乱；
国标13978对数字电压表有精度定义；
电压测量应该回到尊重测量基本原则的路上，实事求是。
1.2 背景
简仪在研制简仪JY5510电压测量时，参考国际知名品牌，做了大量的实验。按常理，JY5510的硬件可以达到6½DMM的精度测量需求，但实际却有很大差距。于是，简仪开始仔细研究业界的6 ½电压表（DMM），结果非常出乎意料。我们发现非常多的工程师（包括简仪的资深工程师）对6 ½DMM的认知有非常大的误区。一些著名品牌对电压测量精度的标注不清晰，有些做法甚至不符合测量的常识，这些品牌有意渲染6 ½、7 ½电压表高分辨率的优越性，淡化这些电压表在测试精度上的不足。
1.3 小百科内容与白皮书
简仪从即日起发表小百科连载，共享简仪在研究精密直流电压测量的体会，连载完毕后简仪会在官网上发表英文版的白皮书，供有兴趣的读者阅读批评指正（下载需要注册）。
简仪遇到的这些问题是非常基本的测试测量问题，我们希望这些工作能对国内外的测试工程师提供一些帮助，也对国内的测量行业有所帮助。为了便于理解，我们会辅助介绍一些与直流电压测量有关的基本知识。最后简仪欢迎业界指正。本系列的小百科包括以下的内容：
DMM的位数不代表精度！
误差的标注，0.123456的意义
数字DMM精度的标注方法
DMM精度到底是多少！
抖动实验！
结束语：正本清源，回归精度
其它辅助信息：增益误差、偏置误差、噪声误差、电源周期（NPLC）、孔径时间（Aperture Time），读数速度的影响
1.4 申明
简仪在本小百科系列和在科研过程中使用了Keysight、NI的产品，引用这些产品厂商公开发表的数据。简仪努力保证我们研究工作是正确的。简仪欢迎有兴趣的第三方独立验证简仪的结果。简仪可以提供验证需要的方法和程序。简仪的研究工作还在继续，如果有新的进展或者发现错误，简仪将及时改进纠错。
简仪对Keysight、NI产品提出的异议应该从科研的角度出发来认识。尊重科学是简仪的宗旨。简仪希望包括Keysight、NI在内的厂商对简仪的工作核实指正。
2. DMM的位数不代表精度！
2.1 摘要
DMM的位数代表分辨率
传统模拟DMM的半位是指第一位，只可以是0或1
按照传统，4 ½ DMM有20,000个测量点；5 ½ DMM 200,000（二十万个）；6 ½ DMM 2,000,000（两百万个）
目前主要数字DMM对精度的要求不是非常清晰
国标对数字DMM有精度的规定，是比较合理的
2.2 DMM的定义
DMM的位数由以下公式定义。n是0~9的整数位数，N是首位的最大数字。
如n=6，N=1，就是6 ½，n=6, N=0,就是6位DMM。有些公司会使用N=3，所以就会由 3¾位电压表。
2.3 传统模拟6½DMM
下图可以形象地解释传统的6 ½ DMM。为了方便，我们把小数点固定在第二列。第一位数只能是0或1，所以也称作半位；小数点后面的六位数X可以是0-9中的任意一个数。
PPM是Parts Per Million “百万分之”的缩写。
上图数值的范围是[0.000000,1.999999]，也就是传统的2V范围；加上量程系数10-1后的范围[0.000000, 1.999999]10-1就是0.2V档位；[00.00000, 19.99999]就是20V档位，依次类推。每一个电压量程都有首位0或1， 再加6个十进制数，共2百万个点。不难算出，6 ½DMM不同量程的分辨率为：
有时也用200万个数作为分辨率。
2.4 数字电压表的分辨率
随着ADC的普遍使用，数字电压表成为了DMM的主流，它的量程通常采用ADC的电压量程如0.1V，1V，10V等。6 ½数字DMM的分辨率沿用了模拟DMM的规定，每一个单边量程使用6个数字，它的分辨率如下。
所以6 ½DMM 0.1V量程的分辨率为0.1uV，共有100万个点，与模拟6 ½ DMM在0-0.1V的点数相同。依次类推，在5 ½DMM的0.1V量程，分辨率则是1uV，共有10万个点。4 ½DMM的0.1V量程分辨率是10uV，1万个点。
目前数字DMM的数字（Digits）不是指精度而是指分辨率。这一点特别要注意。不同厂商6 ½DMM的测量精度可以差得很远。
2.5 数字电压表的精度
数字电压表的精度似乎没有非常严格的国际标准，各厂家的标注差异比较大。我国国标对数字电压表有精度的要求。
Table 1 国标GBT13978对DMM精度的规定
按照国标，6½电压表在24小时内的精度应该在20PPM之内，90天内的精度需在50PPM之内。但是如果我们看一下是德科技34460A的指标，它在1V档位90天内的精度是135PPM，远远大于国标的50PPM。由于它具有6个数字的辨别力，所以是德科技称之为6½电压表。
2.6 6½DMM分辨率与精度的关系
严格来说6½与精度没有直接的关系。6½只代表DMM的电压是由6个有效数字显示。它最小可以反应的变化就是标称的分辨率，也就是1PPM。数字技术可以把分辨率做的非常小，但不代表测试精度会有所提高。用国标为例。6½ DMM90天的精度应该在50PPM之内。这时分辨率5至10PPM可能是合理的，再过细的分辨率可能就大可不必了。
每家仪器厂商都会掌握分辨率与精度之间的合理关系，我们现在没有看见一个行业的规定。无论如何，一味地增加分辨率造成分辨率与精度的脱节是不妥的。
2.7 数字DMM的误区
现在大多数工程师都有一个误区，认为DMM的位数越多越好。厂商也大力推崇高位数的电压表。我们用例子来说明这是有问题的。为了叙述便利，我们使用满量程误差来计算。以Keysight34460A DMM为例，在0.1V和90天的档位，它的满量程误差范围是±135PPM，它的测试结果如下图的最右图。它的精度是百万分之135。当中的图是一款5½电压表，误差是十万分之十三，好于这款6½的DMM。这两款DMM的性能应该没有什么区别。6½DMM最后一位分辨率没有太大的意义，因为前一位已经是有很大误差了。
3. 误差的标注，0.123456的意义
3.1 摘要
最大测量误差决定了测量的精度
绝对误差标注与单数误差标注，不是数字越多越准确
任何测试数据都是对一个真实数据的估计，都有一定的误差。脱离误差谈实验数据是不科学的。误差通常有两种标注方法，绝对误差区间和单数标注法。
3.2 绝对误差标注方法
假设x是测量值，error是误差区间，y是可能的真实值，
y ∈ x ± error = 0.123456 ± 0.000135
绝对误差标注法的每一位数字都有意义，但是没有一位数字是可以百分之百可信的。比如：
y ∈ x ± error = 0.899999 ± 0.000005
y的值就有可能是0.900004，每一位都与0.899999不同。
3.3 单数标注法
单数标注法是用一个数字来代表测量值。以尺子为例，3px的最后一位是估计得来的，0.1是准确的。在绝大多数情况下，误差位只能有一位。
3.4 正确标注测试数据，0.123456的意义
在记录测试和实验数据时，使用有误差区间是最科学的。如果没有，那就要小心了，就不能随意地把所有的数字都写出来，不是数字越多就越准确！要根据单数误差的原则来写。比如，一个实验数据0.123456表示0.12345是准确的，最后一位6含有误差，是估计的。只有在极少的场合下，第2位的误差位可能会有用，但我们在这里不仔细讨论。
4. 数字DMM精度的标注方法
4.1 摘要
DMM精度由测量误差决定，通常使用绝对误差方法。
DMM的基本精度表由三部分组成，增益误差、偏置误差与温度系数。
国标把增益误差与偏置误差合在一起作为满量程误差便于理解
DMM除基本精度表之外还有各家不同的附加误差注解
4.2 基本精度表
所有的厂商都会提供一个基本精度表。它往往是最优秀和靓丽的指标，其中列出增益误差、偏置误差，温度系数等。它们都是以百分比的形式出现。仪器的精度是可以通过这两个参数计算出来的：
精度 = 最大误差 = ±（% of Reading + % of range）= ±（读值的百分比 + 量程的百分比）
Table 2 DMM基本精度表
基本精度表并不完全反应此款DMM的性能，它可能由很多的附加条件，比如速度、温度、环境等。我们在下一节介绍如何使用基本精度表。
4.3 满量程精度（Full-Scale Accuracy）
满量程（full-scale）时，读值等于量程。这时候的精度就是两个百分比数值之和。例如在100mV 24小时栏位里，满量程精度为0.0040% + 0.0060%=0.0100% = 100PPM。
使用满量程精度比较简捷，无需对某一个读值进行计算，也能很好地反应整个量程的精度情况。国标使用满量程的精度数值。
4.4 温度系数
如果仪器的工作温度是在标定的温度之外，厂商还给出了温度系数。温度系数也是两部分，增益和偏置。在满量程时也是两个值之和。例如，在100mV档位，满量程温度系数是0.0005% + 0.0005% = 10 PPM，也就是每一度的温度漂移会导致10PPM的额外误差。如果现在的工作温度离开24小时的校正温度是2°，34460A的精度就是100 + 2*10 = 120PPM了。
4.5 测量速度对精度的影响
测量速度对精度有非常大的影响。测量速度越快，能够处理和减少噪音的时间就越少，测量精度也就会下降。在直流电压测量里，处理的时间也不能太长，因为电压也会随时间漂移的。
国标对DMM的测试速度有明确的定义。
每秒钟小于10个读数的是低速，大于1K的是超高速。
4.6 厂商精度表的可靠性
在不做特别指出时，厂商大都使用IEC 17025 K = 2的规范，国标也是如此定义的。这个规范表示精度的置信区间是正态分布的2倍方差之内，大约是95%。也就是说，这张精度表对的概率大约是95%。
5. 这些DMM精度到底是多少！
5.1 摘要
DMM精度标注没有统一的规范
都给出一个基本精度表（最有利的表格）
再加上很多附带条件，很多是小字
附加条件有时不好找，也不容易计算
5.2 是德科技DMM精度是多少？
是德科技通常会给一个DMM介绍。介绍中有一个Basic DCV Accuracy（基本DCV精度）的词汇。我们查阅了是德科技的材料，这个精度似乎是1年10V的精度，但没有包含偏置误差。
这是一个厂商定义的精度，我们觉得不包括偏置误差是不正确的。在是德科技DMM的手册里，就没有这个词汇，取而代之的是严谨的DMM精度表，其中包括增益误差、偏置误差、温度系数等。
5.3 34460A 基本精度表和附加条件
34460A的基本精度表如下。
必须注意的是表中的精度与DMM的位数没有直接关系，是6½、5½等所有辨别率共用的。这张表到底用在何处要看小字了。这个小字注解1表示要达到表中的测量精度，34460A必需满足积分时间大于10或100个PLC。在50赫兹的电力系统里，10个PLC是0.2秒，也就是5S/s；100个PLC是2秒，即0.5S/s。这与产品介绍中的300S/s有非常大的区别。如果你的应用需要比5S/s快的读取率，你就不能直接从基本精度表中获取精度了，需要进行一系列的计算。
5.4 34460A速度与分辨率
Keysight 34460A提供一个速度与分辨率的表。这个表中给出了不同读取速率（Readings/s）下对应的分辨率和测量速度。读取速度与积分时间是一一对应的。更重要的是这张表给出了不同速度下对精度的影响。这个影响由Additional Noise Error栏位给出。我们无法确切的知道Keysight是如何决定从6½切换到5½，再从5½切换到3½。但是这张表明确了不同的测试速度。在6½分辨率时，34460A的最大读取速度是5S/s；在5½分辨率时，最大速度提高到100S/s；只有在3½分辨率时，读取速度才能达到300S/s。
5.5 34460A精度的附加条件
在Additional Noise Error栏位里有两个小字2和3，这是两个非常重要但又容易忽视的注解。这两个注解与测试精度有关联。
注解3与电压测试有关，指出需要再在基本精度表上加20uV的误差。我们汇总了90days的满量程精度。在这张表里，我们把小字0.001%量程误差（小字2）与20uV误差（小字3）都以量程的PPM列了出来。有两点值得注意：当速度增加时，小电压量程的精度下降很多，10V以上的大量程的精度下降不多。在5½辨别率，有两档精度，一档是速度是50S/s。另一档与3½档的精度一样，速度是100S/s。这两档的精度是不一样的。一句话，我们不能把厂商提供的基本精度表当作我们测量的精度依据，必须把附加信息一并计入。这不是一件显而易见的工作。
5.6 NI 4071DMM的精度是多少？
NI 4071也提供一个7 ½的基本精度表，指标非常亮眼，在0.1V，24小时内的最大量程精度只有5 + 4 = 9PPM，比Keysight的1/10还要小。
5.7 4071速度与分辨率
NI也给出一个速度与分辨率的表格，但我们不知道NI是如何选择7 ½、6 ½、5 ½还是4 ½。在6 ½分辨率时，NI4701的读速可以达到100S/s，是34460A的20倍。在5 ½分辨率时仍有3KS/s的速率，是34460A的30倍。
5.8 4071精度的附加条件
在精度方面，除了NI提供的7 ½基本精度表之外，其它数字分辨率的精度就要自己计算。这个计算非常不直接，我们只能做一个合理的猜测。首先要从分辨率对应到NPLC（Number of Power Line Cycle）。6 ½分辨率的读速是100S/s，相当于0.5NPLC。在NI提供的附加噪音误差图（Additional Noise）上需要估算噪音的RMS幅度。假设我们找到了一个点对应NPLC=0.5，对应的RMS噪音是0.1PPM of Range。
这还没有完。NI还提供了一张表格，来说明如何从RMS 噪音值来估算误差。根据张表格，在0.1V档位，你必须把0.1PPM乘上15倍才能得到相应的误差。不同的档位有不同的倍数。
但这还没有完，还有一个小注解9。
这个注解是这样说的：峰峰值误差还要再乘上一个系数6。如果我们用其一半作为最大误差，NI 4071在0.1V档位的最大额外误差是0.1*15*3 =4.5PPM。这个误差才是总的附加误差，需要加到偏置误差里去。所以NI 4071在0.1V档位，24小时内的最大误差是 5 + 4 + 4.5 = 13.5PPM，仍旧远好于Keysight34460A 100PPM的指标。
5.9 NI 4081精度是多少
NI 4081是一款7 ½的DMM。
5.10 4081的速度与分辨率
NI4081没有给出具体的速度与分辨率的表格。只是在Timing一节里提到DMM的最大读取速率为1.8MS/s。
请注意小字30.
我们无法从这些信息里获取不同读速对精度的具体影响。
5.11 NI 4081的基本精度表如下
这是一个非常靓丽的指标。前面的小字表明Aperture Time≥100ms，即速度小于10S/s。如果速度比这个高的时候精度是多少呢？
5.12 NI 4081精度的附加条件
NI提供了一张图，你需要在图上选点，再按照下面的小字计算才能估算4081在不同读数速率下的附加误差，再把这个误差加到基本精度误差表才能得知测量的误差。我们在这里就不计算了，有兴趣的读者自己可以试一试。
6. 抖动实验
6.1 摘要
理想环境的DMM的精度指标在实际应用中不容易验证
抖动测试可以帮助判断精度指标是否满足应用场景
抖动太大，精度指标可能无法满足应用场景
6.2 抖动实验
抖动实验就是对同一个电压反复测试，计算它的的方差。抖动实验是简仪在测试JY5510众多实验之一。这个实验把JY5510、NI 4071、NI4802、是德9182A DMM放在同一个PXI机箱里，采用10ms同样的孔径时间（Aperture Time），预热一小时后，对同一电压进行反复测试。每一小时重复一次，重复若干个小时。由于噪音和环境的影响，同一电压的读值会略有不同，有抖动。对这些抖动进行分析可以对DMM进行一些评估。
6.3 最大误差的计算
如果σ是抖动的方差，我们按照
来估计最大误差。
6.4 5小时的累计误差
在这个实验中我们使用了JY5510与NI4071。部分测试结果如下图。很明显地可以看出在0.1V档位，JY5510的抖动比较大，这也是简仪一直想解决而尚未完全解决的问题。
6.5 6小时单次误差
这个实验使用了JY5510、NI 4071、4081、Keysight 9182。4张卡放在同一个PXI机箱，对每一个量程的诸多电压值反复测试。下图是每一个测试档位在6个小时里的最大值。可以看出4071、4081的误差非常相似，同时再一次显示JY5510在0.1V档位的抖动比较大。
6.6 输入端短路的测试
为了尽量排除Fluke信号源、工作环境对系统的影响，我们还做了输入端短路的抖动实验，我们用不同的电压量程测量输入端短路后的电压值。除了电源和电磁干扰的影响之外，这是最接近理想状况的实验条件了。虽然JY5510在输入端短路与0.1V档位有不错的性能，但是这个性能并没有能在输入端非短路时保留下来。
6.7 抖动与精度指标
我们把JY5510、NI4071、NI4081、Keysight9182测试得来的抖动与标称精度放在一张图表里。同一颜色自左向右代表该张卡的抖动和标称精度。为了避免信号源对测试的影响，我们首先将输入短路时的抖动与标称精度相比。当输入端短路时，电压值是0，所以增益误差也是0，只有偏置误差。这是误差最小的时候。必须指出，在这张表中我们只采纳了厂商基本精度表中的偏置误差部分。
在这个近似的理想条件下，抖动的幅度都应该小于精度。但是这三款知名品牌的抖动在很多档位都大于标称精度。我们不明白如何解释这个现象？
下图是使用Fluke源后每一个电压档位的最大抖动，精度是满量程精度。如果这时的抖动小于精度指标，那么厂商的精度指标仍有可能满足此时的应用场景。如果这时的抖动大于精度指标，则厂商的精度指标就完全不能满足此时的应用场景了，这是工程师要注意的细节。这不代表厂商的精度指标有误，只是表示在不同的场景下，原精度指标不适用了。但这时的精度指标又是多少呢？
7. 结束语：正本清源，回归精度
7.1 摘要
测量的首要任务是精度
DMM和电压测量的标注应该方便客户了解实际的精度
不应该让用户自己计算测量的精度
无详细精度描述的7 ½、6 ½、5 ½DMM不应该出现在招标文件里
7.2 以精度为主来标注DMM
现在的数字DMM大都具备有7 ½、6 ½、5 ½等不同的分辨率位数。但是厂商往往只提供基本精度表。这个表往往给出最优秀的指标，同时还有太多的附加条件。如果用户要在不同的分辨率条件下，也就是在不同的速率下进行测量，很难一目了然地了解到测试的精度。如果厂商能够明确标注不同位数时的测量速度和测量精度（见下表），就会大大方便使用者。我们认为厂商不应该把计算精度的任务转嫁到使用者身上。
在这个表中，不同分辨率时的测量速率和精度都是一目了然的。这样的标注方法不会把工程师误导为分辨率高，读速快，精度还要高。
7.3 没有清晰精度指标的DMM位数就不应该作为招标指标
如前所说，DMM的数位只是分辨率，与精度没有直接关系。一款6 ½DMM的分辨率可以很好，但是精度却会非常不理想。目前市场上的DMM精度指标差异相当大，应该引起工程师足够的重视。
总的来说，由于DMM没有精度的要求，所以不应该成为测量仪器的招标术语。泛泛地在招标书上写入6 ½、7 ½DMM是违反测量最基本原则的！
7.4 结束语
我们在这一小百科系列里介绍了简仪开发精密电压测量发现的问题。主要归结如下：
一、现在市面上的DMM的精度指标非常不清晰，造成了工程师把DMM的位数等同于精度的误导。
二、DMM的精度很难单独验证，工程师只能盲目相信厂商的指标，而厂商的指标又是如此的难读。
三、简仪的工作虽然不能否定现有品牌厂商的指标，但是我们对这些指标的实用性是有疑虑的。我们希望与业界工程师一起逐渐澄清DMM精度的疑问。
8. 其它辅助信息
8.1 摘要
实验数据和误差的两种标注方式
增益误差、偏置误差、噪声误差
工频周期数、孔径时间、读数速度
8.2 增益误差，偏置误差，噪声误差
仪器的测量精度是由仪器的最大测试误差决定的。测量误差主要有两部分组成：增益误差、偏置误差。请参考简仪关于增益误差和偏置误差的小百科。另外系统噪声误差也是一个因素。
系统噪音误差通常用RMSσ数值表示，可以通过多点平均来减少。如果系统噪声符合正态分布，噪声的RMS幅度按照1/√N 的比例下降。N是平均点数。但是σ不会一直下降，当N足够大时，噪声将不再符合正态分布。
我们通常用系统噪声σ的两倍至六倍，即2σ～6σ，来估计最大的误差。正态分布中的2σ和6σ的概率分别为95%到99.999998%。如果是2σ，出错的概率是0.000002%，相当于0.02PPM，一亿次中可能会有两次超出这个范围。
仪器厂商通常把噪声误差与偏置误差放在一起标注。这样比较简单明了。
8.3 工频周期数，孔径时间，读数速度
工频周期数（Number of Power Line Cycles，NPLC）。国际市电有两个标准，50Hz，60Hz。以50Hz为例。一个周期NPLC=1，即1PLC，相当于0.02秒的时间。在使用DSP技术降采样时，信号的周期最好是整数，这样整个周期的噪音可以被有效地抑制。
孔径时间（Aperture Time）。孔径时间最早来源于照相的光圈，曝光的时间。在测量技术里孔径时间指对信号的处理时间。它与NPLC有对应的关系。比如1PLC是0.02秒，所以孔径时间是0.02秒。
读数速度。NPLC越大，孔径时间越长，读速越慢。数据采集的采样速度大部分是由硬件决定的。而仪器的实际测量速度是由多方面因素决定的。
8.4 Reference
1. Keysight: Digital Multimeters 34460A, 34461A, 34465A (6½ digit), 34470A (7½ digit) Technical Specifications DataSheet
2. Keysight: 6½ Digit PXI Digital Multimeters (M9181A, M9182A, M9183A) Data Sheet
3. Fluke: 5500A Multi-Product Calibrator, Extended Specifications, 2005
4. NI: PXI-4071 7½-Digit, ±1,000 V, Onboard 1.8 MS/s Isolated Digitizer, PXI Digital Multimeter
5. NI: PXIe-4080 PXIe, 6½-Digit, ±300 V, Onboard 1.8 MS/s Isolated Digitizer, PXI Digital Multimeter
6. Rigol: DM3068 Specifications
7. JYTEK: 测量小百科 | 测量参数解析：模拟输入精度(深度)
8. JYTEK: 测量小百科 | 测量参数解析：增益误差（深度）
9. JYTEK: 测量小百科 | 测量参数解析：偏移误差（深度）
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